\subsection{波函数公设}
\begin{theorem}[][波函数公设]
    \textbf{wave function postulate}\quad

    微观粒子的量子状态可以用波函数 \(\psi(r,t)\) 作完全的描述。
    波函数是粒子坐标和时间的复值函数，模平方 \(|\psi(r,t)|^2\) 为概率密度，
    即 \(t\) 到在体积元 \(dr\) 中找到粒子的概率分布
    \begin{align*}
        \mathrm{d}P(r,t) = \psi(r,t)^* \cdot \psi(r,t) \cdot \psi(r,t)
    \end{align*}
    波函数在定义域内几乎（除可数个点、线、面外）处处单值、连续、可微；
    对定义域内任意部分区域模平方可积。
    而且，如果 \(\psi_1(r,t),\psi_2(r,t)\) 是波函数，则它们的任意复系数线性叠加
    \begin{align*}
        \psi(r,t) = c_1\psi_1(r,t),c_2\psi_2(r,t)
    \end{align*}
    也是波函数。对任意两个函数，定义它们复数内积
    \begin{align*}
        (\varphi, \psi) = \int \varphi^*(r) \psi(r) \mathrm{d}r
    \end{align*}
    于是，全体波函数集合组成描述量子状态的 Helbert 空间。

\end{theorem}
\begin{note}
    总结起来就是5点：
    \begin{enumerate}
        \item 任意量子状态可由波函数所完全表示、
        \item 波函数概率诠释
        \item 波函数数学性质的要求
        \item 波函数服从线性叠加原理
        \item 全体波函数集合组成Hilbert空间.
    \end{enumerate}
\end{note}
\subsection{算符和算符公设}
\begin{theorem}[][算符公设]
    \textbf{operator postulate}\quad
    "任一可观测力学量$\Omega$用相应的线性Hermite算符$\hat{\Omega}$ 表示.
    算符$\hat{\Omega}$作用于Hilbert空间状态上,体现为状态之间的一种线性映射.

\end{theorem}

\begin{note}
    经典物理学中所有力学量均转化为对应的Hermite算符,
    惟时间这个量除外.在全部量子理论中,时间一直保持为连续变化的参量,不存在相应的"时间算符"

    Hermite算符本征值均为实数，对应不同本征值的本征函数相互正交.
    一般说来，一个Hermite算符的本征函数族并不一定是
    完备的。这里完备性是指：使用该函数族可以展开任一波函数（不是任意数学函
    数）。若Hermite算符的本征函数族是完备的，则它所对应的力学量称为可观测量.

    两个力学量A和B可以同时观测的充要条件是它们对应的算符彼此对易, 即$[\hat{A},\hat{B}]=0$
    如果A和B不对易，它们“不能同时测量”的含
    义是：这时A和B不存在共同的本征函数序列可用于展开任意被测态，所以不能对
    任意被测态同时测量这两个力学量。但这不等于不存在个别（对应零本征值）的共
    同本征态。单就这个特殊态作同时观测还是可能的。
\end{note}
\subsection{测量公设}
\begin{theorem}[][测量公设]
    \textbf{measurement postulate}\quad
    若微观粒子处于波函数$\psi(\boldsymbol{r})$描述的状态,
    对其进行可观测量$\Omega$的单次测量,一定导致状态的本征坍缩：
    波函数$\psi(r)$将随机地坍缩为$\hat{\Omega}$的某个本征态；
    与此同时,测得$\Omega$的数值一定等于该本征值.
    若对波函数为$\psi(r)$的微观粒子量子系综进行$\Omega$的多次重复测量,
    所得期望值$\bar{\Omega}_\psi$将为
    \begin{equation*}
        \bar{\Omega}_\psi=
        \int \psi^*(\boldsymbol{r}) \hat{\Omega} \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \nu
        \quad\left(\int \psi^*(\boldsymbol{r}) \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \nu=1\right)
    \end{equation*}

    如果被测波函数$\psi(\boldsymbol{r})$不是$\hat{\Omega}$的本征态,
    应将$\psi(\boldsymbol{r})$按照$\hat{\Omega}$的本征函数族展开,即
    \begin{equation*}
        \psi(\boldsymbol{r})=\sum_n c_n \psi_n(\boldsymbol{r}) \quad\left(\hat{\Omega} \psi_n(\boldsymbol{r})=\omega_n \psi_n(\boldsymbol{r}), \quad \forall n\right)
    \end{equation*}
    将$\bar{\Omega}_\psi$转化为本征值$\omega_n$的权重平均
    \begin{equation*}
        \bar{\Omega}_\psi=
        \int\left(\sum_n c_n^* \psi_n^*(\boldsymbol{r})\right)
        \hat{\Omega}\left(\sum_n c_n \psi_n(\boldsymbol{r})\right)
        \mathrm{d} \nu=\sum_n\left|c_n\right|^2\omega_n
        \quad\left(\sum_n\left|c_n\right|^2=1\right)
    \end{equation*}
    权重系数就是展开式中相应系数的模平方$\left|c_n\right|^2$,也就是测得本征值$\omega_n$的概率.
\end{theorem}
\begin{note}
    \par 注意,随着被测态的演化,这些权重系数$c_n$可能随时间变化.
    \par 除第一公设外,这是量子力学中又一个直接将力学量的理论计算与实验观测联系起来的公设.
    此公设和波函数公设共同沟通着量子力学的理论计算上层和实验观测基础,
    成为它们之间的桥梁.
    这里暂只指出以下几点:

    \par 第一,这里说的期望值是指对大量相同的量子态$\psi(\boldsymbol{r})$
    （它们组成所谓纯态量子系综）作多次重复性观测的平均结果.
    以后应当注意区分两种情况：对量子系综进行多次重复测量的平均结果,对单个量子态的单次测量结果.
    \par 第二,对态$\psi(\boldsymbol{r})$进行力学量$\Omega$的每一次完整测量全过程一般分为三个阶段:
    \begin{enumerate}
        \item "纠缠分解"， $\psi(\boldsymbol{r})$按$\hat{\Omega}$的
              本征态分解并和测量仪器的可区分态因相互作用而量子纠缠,成为为纠缠分解;
        \item "波函数佣缩", $\psi(\boldsymbol{r})$以展开式系数模平方为概率向$\hat{\Omega}$的
              本征态之一突变过去;
        \item "初态制备",通常说测量制备了一个初态.
              因为,经测量坍缩后的态在新环境的新Hamilton量下作为初态开始新一轮演化.
    \end{enumerate}

    \par 第三,每次测量并读出结果之后,态$\psi(\boldsymbol{r})$即受严重干扰,
    并向该次测量所得本征值的本征态随机突变(坍缩)过去,使得波函数约化到它的一个成分(分支).
    这种由单次测量造成的坍缩称为"第一类波包坍缩".
    注意,对同一个量子状态$\psi(\boldsymbol{r})$,依照不同种类的测量,
    坍缩结果不同,表现出来的形象也不同.
    \par 第四，量子力学实验中力学量观测值总应当是实数。这要求，对任一波函数
    ，无论单次测量随机结果或多次测量平均结果都应当是实数。单次测量结果必
    是$\hat{\Omega}$的本征值之一，确为实数：对量子系综多次测量结果$\overline{\Omega}$也为实
    数，由2是Hermite算符也知确实如此.
\end{note}

\subsection{微观体系动力学演化公设/Schrödinger公设}
\begin{theorem}[][微观体系动力学演化公设]
    \textbf{Postulate of the dynamic evolution of microscopic systems}\quad
    一个微观粒子体系的状态波函数满足如下Schrödinger方程:

    \begin{equation*}
        \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi(\boldsymbol{r t})}{\partial t}=
        \hat{H}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{p}) \psi(\boldsymbol{r} t)=
        \hat{H}(\boldsymbol{r},-\mathrm{i} \hbar \nabla) \psi(\boldsymbol{r} t)
    \end{equation*}
    这里$\hat{H}$为体系Hamilton算符,又称为体系的Hamilton量,
    \begin{equation*}
        \hat{H}=\hat{T}+\hat{V}(\boldsymbol{r})=
        \frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m}+V(\boldsymbol{r})=
        -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta+V(\boldsymbol{r})
    \end{equation*}
\end{theorem}

\begin{note}
    \par 如果说"测量公设"中所涉及的状态坍缩是不可预测的、不可逆的、斩断相干性的、非局域的,
    因而完全不遵守经典观念的因果律,那么本公设规定状态波函数的时空演化完全遵守经典观念的因果律,
    保持着全部相干性,不存在任何不可预测成分!量子状态演化中的决定论形式和量子测量中的随机坍缩形式,
    这两种因果观的有机结合就是微观世界的新因果观一一量子力学的因果律!

    \par Schrodinger方程内蕴含一个与位势无关的性质：就任意局部空间
    而言，粒子数定域守恒；就全空间而言，总粒子数守恒。于是波函数的变化仅仅表
    明粒子在时空中运动。整个非相对论量子力学并不考虑粒子如何产生、怎样湮灭，
    不考虑新旧粒子间的相互转化！这正是非相对论量子力学的基本范畴，也正是传统
    意义上“力学”理论的范畴！这种状况和涉及的非相对论低能范围相匹配，再次说
    明，非相对论量子力学的前提假设在逻辑上是相当自洽的。

    \par 对不显含$t$的势场，薛定谔方程的解法如下：
    \par 第一,通过下面变换,将Schrödinger方程中的时间变数和空间变数分离,
    \begin{align*}
        \psi(\boldsymbol{r}, t)=
        \psi_E(\boldsymbol{r}) \mathrm{e}^{-\frac{i}{h} E t} \Rightarrow
        \mathrm{i} & \hbar \frac{\partial\left\{\psi_E(\boldsymbol{r})
        \mathrm{e}^{-i E / / \hbar}\right\}}{\partial t}=\hat{H}\left\{\psi_E(\boldsymbol{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} E / / \hbar}\right\} \Rightarrow \\
                   & \hat{H} \psi_E(\boldsymbol{r})=E \psi_E(\boldsymbol{r})
    \end{align*}
    化简为关于$\psi_E(\boldsymbol{r})$的不含时方程,
    即此量子体系Hamilton量$\hat{H}$的本征值为$E$的本征方程,
    常称为(能量$E$的)定态Schrödinger方程.一般而言,
    定态Schrödinger方程问题是一个求本征值和本征函数问题.
    就是说,对于给定的$\hat{H}$,通常不是对任意$E$值都存在对应的解$\psi_E(\boldsymbol{r})$.
    有对应解$\psi_{E_n}(\boldsymbol{r}) \equiv \psi_n(\boldsymbol{r})$
    存在的$E_n$值集合称为该定态Schrödinger方程的能谱.
    一般说,量子体系的能谱既有分立部分也有连续部分（但有些形式的势场只存在分立谱或只存在连续谱)。
    全部对应解的集合
    $$
        \left\{\psi_n(\boldsymbol{r}) \mid H \psi_n(\boldsymbol{r})=E_n \psi_n(\boldsymbol{r}), \quad \forall n\right\}
    $$
    称为这一问题的(能量)本征函数族.
    \par 第二,将给定的初始波函数$\psi(\boldsymbol{r},0)$ （设已归一化）按此本征函数族
    $\left\{\psi_n(\boldsymbol{r}), \forall n\right\}$展开,求得展开系数$c_n$,
    $$
        \psi(\boldsymbol{r},0)=\sum_n c_n \psi_n(\boldsymbol{r})
        \quad\left(\sum_n\left|c_n\right|^2=1\right)
    $$
    一般说,这个展开式还应当包含连续谱积分部分,为书写简明这里省略了.
    \par 第三,向求和式中每一项添加相应时间因子$\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{iE} E_n t}{n}}$,
    最后即得任意$t$时刻的波函数
    $$
        \psi(\boldsymbol{r}, t)=\sum_n c_n \psi_n(\boldsymbol{r}) \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i} E_n}{n}}
    $$
\end{note}
